دائما ما كمت أسئل نفسي هذا السؤال أثناء دراسة البكالوريوس , ما معني التفاضل و التكامل !!؟
دعنا نسأل السؤال , ماذا يعني التفاضل و ماذا يعني التكامل ؟
اولاً لنبدأ بالتفاضل , و دعنا ننظر إلي المثال التالي :
أنت تسير بسيارتك علي الطريق و فجأه أوقفك شرطي المرور و أخبرك أنك تجاوزت السرعة و عندما طلبت منه قرائة الرادار أخبرك بانهمعطل و أن سيارتك قد تم مشاهدتها من قبل مراقبين علي الطريق , المراقب الاول كان يقف عند الكيلو 100 و قد قام بتسجيل سيارتك علىأنها متجاوزة للسرعة في تمام الساعة 10:00 بينما قام المراقب الثاني بتسجيل سيارتك عند الكيلو 200 في تمام الساعة 11:00 معمعرفة أن السرعة المسموح بها علي الطريق 110 كيلو في الساعة, فهل تستحق المخالفة فعلاً أم لا.
حسناً يجب اولاً أن نعرف ماذا نريد أن نقيس و كيف سيتم قياسة , الفيزياء تخبرنا بأن
السرعة = المسافة \ الزمن و بما أن الفترة الزمنية التي نعرفها هنا هي فقط تلك التي رصدها المراقبين إذن المسافة التي سنقيسها هي تلكالمسافة بين الإثنين خلال ذلك الزمن.
لنرمز للمسافة بالرمز X و للسرعة بـ v و للزمن بـ t لنوافق المتغيرات فالصورة
المسافة —-> 200 – 100 =100 كم
الزمن —-> 11:00 – 10:00 = ساعة واحدة
إذن فالسرعة هنا تكون 100 كلم في الساعة .
جميل, ربما تسأل ما علاقة هذا بالتفاضل ؟
جميل انك سألت , لاحظ أن هنا كان الوقت محدد (Discrete) و أيضاً المسافة , و لهذا قمنا بإستخدام معادلات محددة .
لكن يا عزيزي في الحياة التي نعيش فيها الزمن يسير بأجزاء و أجزاء متناهية الصغر داخل الثانية , في هذه الحالة لنكون دقيقينسنستخدم مفهوم يسمي ( معدل التغير مع ) أي أنه يمكننا أن نتجاهل المراقبين ( و ضابط المرور أيضاً ) و نقول ما هو معدل تغيرالمسافة مع الزمن الحقيقي ؟
ربما كنت تسير بسرعة ثابته بالتالي ستري الرسم بالأزرق في الصورة يشير إلي المسافة المقطوعة مع السرعة الثابتة (السرعة باللونالاحمر) و خط السرعة كما ترى يشير إلى أن سرعتك ثابته مع مرور الزمن